Prozkoumáme, jak se naše Wainerovská rychle rostoucí hierarchie chová, obsahuje-li v indexu ω. Zatím nepotřebujeme vědět, jak zacházet s nekonečnými ordinály; stačí nám vědět, jak přejít z ω na konečné číslo. Pro připomenutí:
fω(n) = fn(n)
------
Zkusíme přirovnat rychle rostoucí funkce k šipkovému zápisu. Již víme, že f1(n) zdvojnásobuje vstup. Taky si pamatujeme výsledek f2(3):
f2(3) = 24
Protože zdvojnásobíme trojku, pak výsledek z ní a nakonec i to zdvojnásobíme; 3 * 2 * 2 * 2. Zkusme si víc příkladů:
f2(4) = 4 * 2 * 2 * 2 * 2 = 64
Všimněme si jednoduchého vzorce:
f2(n) = 2n * n
------
Nyní zvýšíme index o 1 a budeme opakovat f2(n):
f3(n) = fn2(n)
------
Zkusme si vypočítat jeden příklad:
f3(3) = f2(f2(f2(3)))
Víme, že výsledek z f2(3) je 24. Co to znamená? Že 24 bude další vstup:
f2(f2(24))
To jsme taky schopni zjednodušit:
f2(24) = 224 * 24
224 * 24 = 402653184
Nyní bychom toto použili jako poslední vstup:
f2(402653184) = 2402653184 * 402653184
------
To je velké číslo a spodní index je teprve ordinál 2! Obecně vztah mezi rychle rostoucí hierarchií a hyperexponenty je takový:
fx(n) ≥ 2 ↑x - 1 n
------
U hyperexponentů ovlivňuje rychlost růstu hlavně počet šipek, pak číslo vpravo; číslo vlevo téměř nemá vliv. Proto můžeme říci:
fx(3) ~ 3 ↑x - 1 3
------
Vraťme se ke Grahamovu číslu. Pravil jsem, že fω + 1(64) je přibližně to samé jako g64. Podívejme se na to zblízka:
fω + 1(64) = f64ω(64)
První krok bude zjistit hodnotu fω(64):
fω(64) = f64(64)
f64(64) ≥ 2 ↑63 * 64
------
To bude zajisté obrovské číslo! Jelikož počet šipek je mnohem důležitější pro rychlost růstu než číslo vlevo, je jasné, že 2 ↑63 * 64 bude výrazně větší než 3 ↑↑↑↑ 3, ale zkus si to potvrdit.
Nyní bychom využili výsledek tohoto čísla jako index další rychle rostoucí funkce. Postup je velmi podobný Grahamově funkci. Ale co kdybychom zvetšili index na ω + 2? Zkusme:
fω + 2(64) = f64ω + 1(64)
------
Už teď by mělo být jasné, co se bude dít. Nejvnořenější funkce bude fω + 1(64), tedy přibližně Grahamovo číslo. To znamená, že následující funkce je asi taková:
fω + 1(g64)
Víme, že fω + 1(x) roste obdobně rychle jako gx. Tudíž máme:
fω + 1(fω + 1(64)) ~ gg64
To, co jsme opakovali 64krát, abychom dostali Grahamovo číslo, bychom nyní opakovali Grahamovo-číslokrát! A to jsme teprve u druhé funkce. Kdybychom to tedy dovedli až do konce:
fω + 2(64) ~ gg(...)g64
------
Česky by to znělo: Grahamovu funkci opakujme 64krát, výsledným číslem opakujme Grahamovu funkci, teď tím znovu opakujme Grahamovu funkci, znovu, znovu, znovu (...)
Zkus si představit, jak by to asi vypadalo, kdybychom znovu zvětšili index o 1! Rozepisovat bych to opravdu nechtěl.
Začali jsme u tetrace a porazili jsme Grahamovo číslo. Viděli jsme na vlastní oči, jak mocná rychle rostoucí hierarchie je. Hned za rohem číhá ale něco mnohem většího a děsivějšího: Goodsteinova věta.