Nyní se seznámíme s hyperexponenty. Později je využijeme jako záchytný bod, až budeme mluvit o rychle rostoucích funkcích.
Tetrace, o níž už víme, je také hyperexponent. Následuje pentace a hexace; stejně tak, jako tetrace opakuje mocniny, pentace opakuje tetraci a hexace pentaci. Lze je zapsat mnoha způsoby, např. opakovanými ^ (3^^^3) či závorkami (3[3]3), nicméně zde budeme používat Knuthův šipkový zápis. Pravidla jsou prostá:
a ↑ b = ab
a ↑n b = a ↑n-1 (a ↑n (b - 1))
------
Tetrace by vypadala takto:
3 ↑↑ 3 = 3 ↑ (3 ↑↑ 2)
Rozložíme 3 ↑↑ 2:
3 ↑↑ 2 = 3 ↑ (3 ↑↑ 1)
Vypočítáme 3 ↑↑ 1:
3 ↑↑ 1 = 3 ↑ (3 ↑ 0) = 3 ↑ 1 = 3
Dosadíme do 3 ↑↑ 2:
3 ↑↑ 2 = 3 ↑ 3 = 27
A již víme výsledek:
3 ↑↑ 3 = 3 ↑ 27 = 7625597484987
------
Shledáváme, že 3 ↑↑ 3 je to samé jako 333. Co když přidáme další šipku pro pentaci?
3 ↑↑↑ 3 = 3 ↑↑ (3 ↑↑↑ 2)
------
Ale my 3 ↑↑↑ 2 známe v jiné podobě!
3 ↑↑↑ 2 = 3 ↑↑ (3 ↑↑↑ 1)
3 ↑↑↑ 2 = 3 ↑↑ 3
------
3 ↑↑↑ 1 je rovno 3; a ↑n 1 bude vždy rovno a. Vraťme se k původnímu 3 ↑↑↑ 3:
3 ↑↑↑ 3 = 3 ↑↑ (3 ↑↑ 3)
------
3 ↑↑ 3 také známe!
3 ↑↑↑ 3 = 3 ↑↑ 7625597484987
------
Co dělají dvě šipky? Opakované mocnění! Takže 3 ↑↑↑ 3 je rovno 33333 (...), kde v mocninné věži se vyskytuje 7625597484987 trojek!
Zkus si pouhými mocninami vyjádřit 3 ↑↑↑↑ 3 a všimni si, jak se liší hexace od pentace. Dále pomocí Knuthovo šipkového zápisu se podíváme na slavné číslo z kombinatoriky, Grahamovo číslo. Nejprve si ale vysvětlíme, co znamená to podivné fx(n).