Poslední dobou se jen tváříme, že všemu rozumíme. Ve skutečnosti nemáme ani ponětí, jak nepochopitelné struktury ordinálů tvoříme, a už vůbec nemáme představu, co se děje s rychle rostoucí hierarchií. Abychom měli trochu přehled, naučíme se pracovat s pomalu rostoucí hierarchií, jež se řídí podle tří pravidel:
g0(n) = 0
gα + 1(n) = gα(n) + 1
gβ(n) = gβ[n](n), je-li β mezní ordinál
------
Připomíná Hardyho hierarchii, ale nemohla by se víc lišit. Zdánlivě malé rozdíly mezi těmito dvěma hierarchemi tvoří dvě nesrovnatelné posloupnosti. Ukážeme si mnoho příkladů. Začněme malými ordinály:
g0(fη + 1(1000)) = 0
To nám podle nultého pravidla je jasné.
g1000(fη + 1(fε0(G))) = 1000
Zatím roste tak, že neroste. To bude platit, dokud na scénu nepřijdou nekonečné ordinály:
gω(1010) = 1010
Nenechme se zmást klamem, že by snad pomalu rostoucí hierarchie začala dohánět Hardyho hierarchii:
gωω(10) = 1010
Kdežto u Hardyho hierarchie bychom měli f10(10). Ale Hardyho hierarchie byla též o krok pozadu! Co kdybychom pořádně zatlačili?
gε0 + 1(3) = 28
------
Cože? Pouhých 28? Kdybychom použili Hardyho hierarchii, vypadalo by to takto:
Hε0 + 1(3) = Hε0(4)
Hε0(4) = Hωωω(4)
Převedeme na rychle rostoucí hierarchii:
Hωωω(4) = fωω(4)
------
A to je velmi velké číslo! Co kdybychom to ale porovnali s rychle rostoucí hierarchií?
fε0 + 1(3) = fε0(fε0(fε0(3)))
Rozepíšeme nejvnořenější funkci:
fε0(3) = fωω(3)
------
Bože, spas nás! Z této funkce by vzniklo tak nepředstavitelné číslo, které by teprve určovalo počet ω v druhém opakování ε0! A to bychom opakovali ještě jednou na konec! Zde je nutné podoknout, že přestože platí:
Hε0(n) < fε0(n) < Hε0(n + 1)
Nutně to neznamená, že to bude platit pro každý větší ordinál! Jak jsme zrovna viděli výše, pro ordinál ε0 + 1 a vstupní hodnotu 3 je rozdíl mezi rychle rostoucí hierarchií a Hardyho hierarchií nepředstavitelný a ani podstatný rozdíl ve vstupních hodnotách by Hardyho hierarchii nezachránil. Rovnost mezi rychle rostoucí hierarchií a Hardyho hierarchií bude platit jen pro některé větší ordinály.
------
Vraťme se k pomalu rostoucí hierarchii. Když se zamyslíme, všimneme si, že bude přesně popisovat počet rozdílných funkcí v prvním rozepsání. Zkusme se podívat:
gωω(2) = 4
Nyní si rozepíšeme indexy, které bychom našli v prvním rozepsání rychle rostoucí hierarchie se vstupní hodnotou 2:
0) ωω = ω2 = ω * 2 = ω + 2
1) ω + 1
2) ω
3) 1
4) 0
Tak by vypadala rychle rostoucí hierarchie:
fω + 1(fω(f1(f0(2))))
------
Zatímco výsledek pomalu rostoucí hierarchie jsou čtyři, pro rychle rostoucí hierarchii by to bylo přibližně g2 ↑↑↑↑↑ 6 z Grahamovy funkce; šíleně větší než Grahamovo číslo!
Zkusíme trochu větší posloupnost:
gε0(3) = 27
Protože indexy by pokračovaly takto:
0) ε0
0) ωω
0) ω3
0) ω2 * 3
0) ω2 * 2 + ω * 3
0) ω2 * 2 + ω * 2 + 3
Teprv jsme zapsali první nemezní ordinál. Pokračujme:
1) ω2 * 2 + ω * 2 + 2
2) ω2 * 2 + ω * 2 + 1
3) ω2 * 2 + ω * 2
3) ω2 * 2 + ω + 3
4) ω2 * 2 + ω + 2
5) ω2 * 2 + ω + 1
6) ω2 * 2 + ω
6) ω2 * 2 + 3
7) ω2 * 2 + 2
8) ω2 * 2 + 1
9) ω2 * 2
9) ω2 + ω * 3
9) ω2 + ω * 2 + 3
10) ω2 + ω * 2 + 2
11) ω2 + ω * 2 + 1
12) ω2 + ω * 2
12) ω2 + ω + 3
13) ω2 + ω + 2
14) ω2 + ω + 1
15) ω2 + ω
15) ω2 + 3
16) ω2 + 2
17) ω2 + 1
18) ω2
18) ω * 3
18) ω * 2 + 3
Až po 18. kroku jsme se zbavili mocniny. Konec je již jednoduchý:
19) ω * 2 + 2
20) ω * 2 + 1
21) ω * 2
21) ω + 3
22) ω + 2
23) ω + 1
24) ω
24) 3
25) 2
26) 1
27) 0
------
Celkově jsme zapsali 27 ruzných ordinálů, než jsme se dobojovali k 0. Pro ordinály menší než ε0 lze zaměnit všechny ω v indexu za n: 33 je 27.
Zkusme si rozepsat větší nekonečný ordinál se vstupní hodnotou 3:
0) ωωω
0) ωω3
0) ωω2 * 3
0) ωω2 * 2 + ω * 3
0) ωω2 * 2 + ω * 2 + 3
0) ωω2 * 2 + ω * 2 + 2 * 3
0) ωω2 * 2 + ω * 2 + 2 * 2 + ωω2 * 2 + ω * 2 + 1 * 3
0) ...
------
Trvalo by velmi dlouho, než bychom se vůbec dostali k prvnímu nemeznímu ordinálu! Celý zápis by obsahoval 333 (tedy 7625597484987) kroků.
Teď již víme, jaký vztah má pomalu rostoucí hierarchie k rychle rostoucí hierarchii. Jak by vypadal růst g, kdybychom využili ordinály jako ζ či η?
gζ0(n) ~ n ↑↑↑ (n + 1)
gη0(n) ~ n ↑↑↑↑ (n + 1)
------
Snad ani nemusíme zkoušet vstupní hodnoty, my bychom výsledky totiž ani celé nezapsali. Dostali jsme se do bodu, kdy pouhý počet rozdílných funkcí v prvním rozepsání je roven nepředstavitelným číslům! Někdy si ukážeme ordinály tak obrovské, že pokud bychom je užili v indexu pomalu rostoucí hierarchie, rostla by stejně rychle jako fε0(n)! Teď je ale načase se podívat na Veblenovy funkce.