Nyní se naučíme vytvářet pevné body velkých nekonečných ordinálů rekurzivně. Prvně si popíšeme základy Veblenových funkcí:
φ0(0) = 1
φ0(γ) = ωγ
φ0(γ + 1) = ωγ + 1 = ωγ * ω
φ0(γ + 1)[n] = ωγ * n
------
Takto se budou Veblenovy funkce chovat, je-li jejich spodní index 0. Co kdybychom ale použili větší index?
φβ + 1(0)[n] = φnβ(0)
φβ + 1(γ + 1)[n] = φnβ(φβ + 1(γ) + 1)
φ0β(γ) = γ
------
A ještě zbývají případy, kdy užijeme mezních ordinálů:
φβ(γ)[n] = φβ(γ[n]), je-li γ mezní ordinál γ < φβ(γ)
φβ(0)[n] = φβ[n](0), je-li β mezní ordinál β < φβ(0)
φβ(γ + 1)[n] = φβ[n](φβ(γ) + 1), je-li β mezní ordinál
------
Zápisy začínají vypadat opravdu složitě, ale nebojme se jich. Ukážeme si, jaký vztah tyto funkce mají k ordinálům, jež již známe:
φ1(0) = ε0
φ1(α) = εα
φ2(0) = ζ0
φ2(α) = ζα
φ3(0) = η0
φ3(α) = ηα
------
Kdykoliv zvětšíme index o 1, posuneme se na nový pevný ordinálový bod. Jak by to ale vypadalo, kdybychom to chtěli rozvinout?
φ1(0) = sup{0, φ0(0), φ0(φ0(0)), ...}
φ2(0) = sup{0, φ1(0), φ1(φ1(0)), ...}
Obecně tedy platí:
φα + 1(0) = sup{0, φα(0), φα(φα(0)), ...}
------
Kdybychom si převedli tyto posloupnosti na jednoduché ordinály, vyšly by nám věže jako ωω(...) nebo εε(...). Fundamentální posloupnost je stejná té, jíž jsme využili v sup{} pro daná čísla. Pro ε0 tedy 0, 1, ω, ... a pro všechny další pevné body bychom využili 0, bod, bodbod, ... druh posloupnosti.
Co kdyby vstup byl složitější a chtěli bychom ntý prvek fundamentální posloupnosti?
φ1(3)[2] = φ0(φ0(φ1(2) + 1))
Nyní musíme zjistit, který ordinál je φ1(2):
φ1(2) = sup{φ1(1) + 1, φ0(φ1(1) + 1), ...}
Tato řada by nám měla připomenout řady typu sup{ε0 + 1, ωε0 + 1, ...}. Díky tomu, že jsme byli hyperkorektní při popisu fundamentálních posloupností nyní lépe rozumíme Veblenovým funkcím. U této řady jasně vidíme, že výsledek bude ε2. Zkusme pokračovat ještě chvíli:
φ1(3)[2] = φ0(φ0(ε2 + 1))
φ1(3)[2] = ωωε2 + 1
------
Kdyby n pokračovalo donekonečna, suprémum by byl ε3 neboli φ1(3). Co kdybychom ale zkusili dát do indexu ω a stvořit tak nekonečnátý pevný bod?
φω(0) = sup{φ0(0), φ1(0), φ2(0), ...}
φω(0) = sup{1, ε0, ζ0, η0, ...}
φω(1) = φ1(φω(0) + 1)
φω(1) = εφω(0) + 1
------
Co jsme to udělali? Využili jsme diagonalizační princip z rychle rostoucí hierarchie pro nekonečné ordinály. Věz, že φω(0) v rychle rostoucí hierarchii poroste šíleně rychle. Pokud se divíš, že v φω(1) se opět vyskytuje ε, všimni si, že jsme opět využili + 1, aby ordinál φω(0) nepohltil ε.
Zkusme se podívat, jak to bude vypadat v rychle rostoucí hierarchii:
fφω(0)(3) = fφω(0)(fφω(0)(fη(3)))
------
Nikdy bychom neměli vůbec šanci vypsat ordinálový postup k 0 z fη(3)! Toto číslo by pak určovalo, kolikátý pevný bod bychom využili v indexu další funkce! Není možné si uvědomit ani představit, jak ohromně rychle tato funkce roste. Pomůže nám pomalu rostoucí hierarchie?
gφω(0)(n) ~ fω(n)
------
Již sama posloupnost ordinálů roste nepředstavitelně rychle! Ale stále jsme se nedostali k bodu, kdy pomalu rostoucí hierarchie dosáhne růstu fε0, kam se v budoucnu dostaneme, ale uvědom si podstatu skutečnosti, že využíváme rychle rostoucí hierarchii, abychom popsali tu pomalu rostoucí! Dále si ukážeme vrchol Veblenových funkcí, slavný Feferman-Schütte ordinál.