Veblenovy funkce ~ fφω(0)(n)

Nyní se naučíme vytvářet pevné body velkých nekonečných ordinálů rekurzivně. Prvně si popíšeme základy Veblenových funkcí:

φ0(0) = 1

φ0(γ) = ωγ

φ0(γ + 1) = ωγ + 1 = ωγ * ω

φ0(γ + 1)[n] = ωγ * n

------

Takto se budou Veblenovy funkce chovat, je-li jejich spodní index 0. Co kdybychom ale použili větší index?

φβ + 1(0)[n] = φnβ(0)

φβ + 1(γ + 1)[n] = φnββ + 1(γ) + 1)

φ0β(γ) = γ

------

A ještě zbývají případy, kdy užijeme mezních ordinálů:

φβ(γ)[n] = φβ(γ[n]), je-li γ mezní ordinál γ < φβ(γ)

φβ(0)[n] = φβ[n](0), je-li β mezní ordinál β < φβ(0)

φβ(γ + 1)[n] = φβ[n]β(γ) + 1), je-li β mezní ordinál

------

Zápisy začínají vypadat opravdu složitě, ale nebojme se jich. Ukážeme si, jaký vztah tyto funkce mají k ordinálům, jež již známe:

φ1(0) = ε0

φ1(α) = εα

φ2(0) = ζ0

φ2(α) = ζα

φ3(0) = η0

φ3(α) = ηα

------

Kdykoliv zvětšíme index o 1, posuneme se na nový pevný ordinálový bod. Jak by to ale vypadalo, kdybychom to chtěli rozvinout?

φ1(0) = sup{0, φ0(0), φ00(0)), ...}

φ2(0) = sup{0, φ1(0), φ11(0)), ...}

Obecně tedy platí:

φα + 1(0) = sup{0, φα(0), φαα(0)), ...}

------

Kdybychom si převedli tyto posloupnosti na jednoduché ordinály, vyšly by nám věže jako ωω(...) nebo εε(...). Fundamentální posloupnost je stejná té, jíž jsme využili v sup{} pro daná čísla. Pro ε0 tedy 0, 1, ω, ... a pro všechny další pevné body bychom využili 0, bod, bodbod, ... druh posloupnosti.

Co kdyby vstup byl složitější a chtěli bychom ntý prvek fundamentální posloupnosti?

φ1(3)[2] = φ001(2) + 1))

Nyní musíme zjistit, který ordinál je φ1(2):

φ1(2) = sup{φ1(1) + 1, φ01(1) + 1), ...}

Tato řada by nám měla připomenout řady typu sup{ε0 + 1, ωε0 + 1, ...}. Díky tomu, že jsme byli hyperkorektní při popisu fundamentálních posloupností nyní lépe rozumíme Veblenovým funkcím. U této řady jasně vidíme, že výsledek bude ε2. Zkusme pokračovat ještě chvíli:

φ1(3)[2] = φ002 + 1))

φ1(3)[2] = ωωε2 + 1

------

Kdyby n pokračovalo donekonečna, suprémum by byl ε3 neboli φ1(3). Co kdybychom ale zkusili dát do indexu ω a stvořit tak nekonečnátý pevný bod?

φω(0) = sup{φ0(0), φ1(0), φ2(0), ...}

φω(0) = sup{1, ε0, ζ0, η0, ...}

φω(1) = φ1ω(0) + 1)

φω(1) = εφω(0) + 1

------

Co jsme to udělali? Využili jsme diagonalizační princip z rychle rostoucí hierarchie pro nekonečné ordinály. Věz, že φω(0) v rychle rostoucí hierarchii poroste šíleně rychle. Pokud se divíš, že v φω(1) se opět vyskytuje ε, všimni si, že jsme opět využili + 1, aby ordinál φω(0) nepohltil ε.

Zkusme se podívat, jak to bude vypadat v rychle rostoucí hierarchii:

fφω(0)(3) = fφω(0)(fφω(0)(fη(3)))

------

Nikdy bychom neměli vůbec šanci vypsat ordinálový postup k 0 z fη(3)! Toto číslo by pak určovalo, kolikátý pevný bod bychom využili v indexu další funkce! Není možné si uvědomit ani představit, jak ohromně rychle tato funkce roste. Pomůže nám pomalu rostoucí hierarchie?

gφω(0)(n) ~ fω(n)

------

Již sama posloupnost ordinálů roste nepředstavitelně rychle! Ale stále jsme se nedostali k bodu, kdy pomalu rostoucí hierarchie dosáhne růstu fε0, kam se v budoucnu dostaneme, ale uvědom si podstatu skutečnosti, že využíváme rychle rostoucí hierarchii, abychom popsali tu pomalu rostoucí! Dále si ukážeme vrchol Veblenových funkcí, slavný Feferman-Schütte ordinál.