Podívejme se na pravidla Hardyho hierarchie:
h0(n) = n
hα + 1(n) = hα(n + 1)
hβ(n) = hβ[n](n), je-li β mezní ordinál
------
Na první pohled vidíme zásadní rozdíly; nultá funkce pouze vypíše vstup a při přecházení na nižší ordinály neopakujeme funkci nkrát. Pro malé ordinály to bude vypadat, že funkce z této hierarchie budou slabé, ale věz, že je to klam.
Zkusme si příklad s konečným ordinálem:
h4(100) = h3(101)
h3(101) = h2(102)
h2(102) = h1(103)
h1(103) = h0(104)
h0(104) = 104
------
Proč tolik povyku, abychom ze 100 dostali 104? Kdybychom použili rychle rostoucí hierarchii, již bychom měli číslo větší než 2 ↑↑↑ 100. Zkusme si další příklad, tentokrát s nekonečným ordinálem:
hω(100) = h100(100)
...
h0(200) = 200
------
Nic moc teda! ω nabízí jenom násobení dvěma. Co nám to ale připomíná?
hω(n) = f1(n)
------
Zajímavé. Z mocné ω se stala první rychle rostoucí funkce. Možná to potřebuje víc šťávy:
hω + 2(100) = hω + 1(101)
hω + 1(101) = hω(102)
To už nemusíme dopočítávat. Takže x v ω + x pouze výsledku přidá 2x svoji hodnotu? U rychle rostoucí hierarchie jsme kvůli tomu museli opakovat Grahamovu funkci! No nic, zkusme mnohem větší ordinály:
hωω(100) = hω100(100)
hω100(100) = hω99 * 100(100)
hω99 * 100(100) = hω99 * 99 + ω98 * 100(100)
Počkat! To bychom se asi nikdy nedopočítali! Zkusme menší vstup:
hωω(3) = hω3(3)
hω3(3) = hω2 * 3(3)
hω2 * 3(3) = hω2 * 2 + ω * 3
Hmm, to by taky trvalo dlouho. Dvojku snad zvládneme:
hωω(2) = hω2(2)
hω2(2) = hω * 2(2)
hω * 2(2) = hω + 2(2)
To nám je povědomé! Přece ω + x zdvojnásobí vstup a přidá výsledku 2 * x. Tudíž:
hωω(2) = 8
------
To bylo hodně rozepisování ordinálů! Co nám připomíná výsledek hωω(2)? Vždyť to je výsledek z f2(2), nebo ne? To by bylo 22 * 2; to je 8. Víš, co to znamená? Hleď:
hωω(2) = f2(2)
hωω(3) = f3(3)
hωω(100) = f100(100)
------
Jaké to štěstí, že jsme nedopočítali hωω(100) ani obdobu s trojkou! S trojkou bychom se tu prali poměrně dlouho, ale se stovkou bychom tu byli do konce vesmíru a nikam bychom nepokročili! Z toho plyne:
hωω(n) = fn(n)
fn(n) = fω(n)
------
Hardyho hierarchie je tedy jen o pouhý krok pozadu! Celkově platí:
hω ↑↑ x(n) = fω ↑↑ (x - 1)(n)
------
Opravdu jsme i viděli, že hω(n) = f1(n), protože ω ↑↑ 0 je vskutku 1. Kdybychom dosadili třeba ordinál ωωω do indexu Hardyho hierarchie, vytvořili bychom pořádnou továrnu na velká čísla:
hωωω(5) = hωω5(5)
Abychom viděli, jak postupují ordinály s n rovno pěti, zapíšeme je samotné popořadě:
ωω5 = ωω4 * 5
ωω4 * 5 = ωω4 * 4 + ω3 * 5
...
ωω5 = ωω4 * 4 + ω3 * 4 + ω2 * 4 + ω * 4 + 5
------
Nikdy bychom nevypsali celou řadu ani na papír velký několik miliard galaxií.
Procvičili jsme si práci s nekonečnými ordinály a viděli, jak i velmi slabě vypadající hierarchie funkcí může splodit nepředstavitelně ohromná čísla, užijeme-li velkých ordinálů. Navíc Hardyho hierarchie pro nás bude užitečná, až se setkáme s Goodsteinovým teorémem.