Jsme připraveni na první užitečné velké číslo z googologie, ale pochopit je nebude lehké!
Vraťme se dočasně ke Knuthovu šipkovému zápisu. Pamatujeme si výsledek 3 ↑↑↑ 3, tedy 33333 (...), mocninnou věž s 7625597484987 trojkami. Musíme přidat jednu šipku navíc, abychom se dostali k základu Grahamova čísla.
3 ↑↑↑↑ 3 = 3 ↑↑↑ (3 ↑↑↑ 3)
------
Trochu jsme si zjednodušili zápis. Obecně pro Knuthův šipkový zápis platí:
a ↑x b = a ↑x - 1(a ↑x - 1( ... ( a ↑x - 1 a)) ... )
Kde se a objeví přesně bkrát.
------
Zkus si to ověřit, připadá-li ti to podezřelé. Podívejme se důkladně, co 3 ↑↑↑ 3 dělá:
3 ↑↑↑ 3 = 3 ↑↑ (3 ↑↑ 3)
Vidíme, že opakuje známou tetraci. Zkusme si rozepsat 3 ↑↑↑ (3 ↑↑↑ 3):
3 ↑↑ (3 ↑↑ (3 ↑↑ (3 ↑↑ (3 ↑↑ ( ... (3 ↑↑ 3))... )
Kde bude 3 ↑↑↑ 3 trojek!
------
Kdybychom to přepsali na mocninné věže, výsledný netvor by vypadal takto:
333 (...)|333 (...)| ... | 333
Kde se vyskytuje 3333 (...)| 333 mocninných věží! Přidali jsme jednu šipku navíc a potřebujeme mocninné věže, abychom popsali, kolik mocninných věží číslo obsahuje!
------
Toto monstrum, tedy 3 ↑↑↑↑ 3, označíme g1. Teď se drž:
g1 = 3 ↑↑↑↑ 3
g2 = 3 ↑g1 3
------
Výsledek z 3 ↑↑↑↑ 3 jsme využili jako počet šipek! A přece víme, jak nepředstavitelně dokáže jen jedna šipka změnit výsledek! Ale to ani zdaleka není všechno. Zobecníme:
g1 = 3 ↑↑↑↑ 3
gn = 3 ↑g - 1 3
------
Asi už máš představu, kam toto bude směřovat. Budeme postup opakovat víckrát, v tomto případě 64krát! Výsledek ze zdánlivě nekonečného g2 bude určovat počet šipek mezi trojkami. g64 je Grahamovo číslo. Co nás překvapí ze všeho nejvíc je, že toto číslo našlo využití v kombinatorickém úloze!
Co si počne naše rychle rostoucí hierarchie? Má šanci čelit takovému Goliáši?
fω + 1(64) ~ g64
------
Stačilo pouze posunout index rychle rostoucí hierarchie o pouhou jedničku, abychom vyskočili z hyperexponentů až po Grahamovo číslo. Jsme sotva na úplném počátku nekonečných ordinálů! Vrátíme se k rychle rostoucí hierarchii a zjistíme, jak je možné, že roste tak rychle.