Jak budeme pokračovat po ε0? Mohli bychom si vytvořit libovolnou fundamentální posloupnost ordinálů, nicméně bude vhodnější zvolit takovou, která nám později pomůže porozumět Veblenovým funkcím. Prvně si musíme vysvětlit, co jsou pevné body:
ε0 = min{α|α = ωα} = sup{0, 1, ω, ωω, ...}
------
Co ale znamená min? Slovně bychom řekli, že ordinál ε0 je roven nejmenšímu ordinálu α takovému, pro který platí, že ωα je stále roven α.
Je to podobné těmto skutečnostem:
ω = min{α|α = n + α}
ωω = min{α|α = ωn * α}
------
Jelikož ε0 je roven nekonečné mocninné věži ω, dát další ω na začátek věže je úplně to samé jako přidat 1 před ω. Pevné body v matematice jsou takové vstupy, které se rovnají výsledku; vstup, který se zobrazí sám na sebe.
Tato myšlenka bude podstatná pro tvorbu větších nekonečných ordinálů. Zkusme si vytvořit ε s větším indexem:
ε1 = min{β|β = ωβ ∧ β > ε0}
------
Možná si řekneš, že pokud β musí být pouze větší než ε0, stačilo by využít ε0 + 1, že? Ne tak rychle:
ωε0 + 1 = ωε0 * ω = ε0 * ω
A to podle našich pravidel ordinálové aritmetiky je nutně větší ordinál! Co kdybychom ale dosadili trochu větší ordinál?
ωωε0 + 1 = ω(ε0 * ω) = (ωε0)ω = εω0
------
Jak vidíme, není to tak lehké. Jak tedy ale vypadá fundamentální posloupnost, která vede k ε1?
ε1 = sup{ε0 + 1, ωε0 + 1, ωωε0 + 1, ...}
------
Kdybychom to totiž vypočítali, vyšlo by nám εε(...)00.
Pak by platilo stejné odůvodnění jako u ωε0 = ε0. To můžeme opakovat neomezeně:
εα + 1 = min{β|β = ωβ ∧ β > εα} = sup{εα + 1, ωεα + 1, ...}
------
Co kdybychom chtěli použít mezní ordinál jako index pro ε?
εα = sup{εβ|β < α}
εω = sup{ε0, ε1, ε2, ...}
εω * 2 = sup{εω + 0, εω + 1, εω + 2, ...}
εε0 = sup{ε0, ε1, εω, εωω, ...}
------
Teď jsme vybaveni pro nový pevný bod, ale než se na něj vrhneme, shrneme si fundamentální posloupnost všech ordinálů menší než budoucí pevný bod ζ0:
ε0[0] = 0
ε0[n + 1] = ωε0[n]
εα + 1[0] = εα + 1
εα + 1[n + 1] = ωεα + 1[n]
εβ[n] = εβ[n], je-li β mezní ordinál
------
Podívejme se na krajní případ, kdy by index byla nekonečná věž ε:
ζ0 = min{γ|γ = εγ}
ζ0 = sup{0, ε0, εε0, ...}
------
To bude hodně velký ordinál! Podívejme se, jak bychom získali nový pevný bod:
ζα + 1 = min{γ|γ = εγ ∧ γ > ζα}
Aby ζα nepohltila ε, využijeme stejnou myšlenku jako u ε1:
ζα + 1[0] = ζα + 1
ζα + 1[n + 1] = εζα[n]
------
Stvořili-li bychom opět nekonečnou věž ζ, měli bychom tu ještě větší ordinál:
η0 = min{β|β = ζβ}
η0 = sup{0, ζ0,, ζζ0, ...}
------
To už je krvavé. Dále si ukážeme, jak mocné by rychle rostoucí funkce s těmito ordinály byly. Abychom měli šanci chápat, co se děje, porovnáme rychle rostoucí hierarchii s pomalu rostoucí hierarchií. Pak si zobecníme tento způsob vytváření větších nekonečných ordinálů skrz pevné body.